Calculadora de Transformada de Laplace

O que esta calculadora de transformada de Laplace resolve

A transformada de Laplace é uma operação que converte uma função do tempo, normalmente indicada por f(t), em uma função de uma nova variável, s. Nesta calculadora, o objetivo é obter rapidamente a transformada unilateral de funções elementares muito usadas em cálculo, equações diferenciais, engenharia elétrica, controle e análise de sinais. A definição empregada é L{f(t)} = integral de 0 até infinito de e^-stf(t) dt.

A ferramenta calcula as famílias mais frequentes: constante, potência inteira não negativa, exponencial, seno e cosseno. Ela também mostra a condição sobre s que garante a convergência da integral. Esse detalhe importa: uma expressão algébrica só representa uma transformada de Laplace quando a integral imprópria existe na região indicada.

Não se trata de um sistema de álgebra simbólica geral. Portanto, entradas como polinômios completos, funções por partes, produto de seno por exponencial, atrasos temporais, derivadas ou convoluções devem ser decompostas e tratadas com propriedades específicas. Para o cálculo direto das formas elementares, porém, a resposta apresentada é a fórmula matemática usual.

Como usar a calculadora campo a campo

Tipo de função

Escolha a aba que descreve f(t). Em Constante, a função é a. Em Potência, ela é a·tⁿ. Em Exponencial, corresponde a a·e^bt. As abas Seno e Cosseno usam, respectivamente, a·sen(bt) e a·cos(bt).

Coeficiente a

Informe o número que multiplica a função. Por exemplo, para 5e^3t, use a = 5 e selecione Exponencial. O coeficiente pode ser negativo ou decimal. Se a for zero, a transformada será zero, desde que a forma da função esteja definida.

Parâmetro n ou b

Na potência, n deve ser um inteiro maior ou igual a zero; para t⁴, informe 4. Nas outras famílias que usam parâmetro, b é a taxa exponencial ou a frequência angular. Para 2sen(7t), por exemplo, informe a = 2 e b = 7. Use ponto ou vírgula como separador decimal.

Fórmula e passo a passo do cálculo

Pela linearidade, uma constante multiplicativa sai da integral: L{a·g(t)} = aL{g(t)}. Assim, a calculadora primeiro identifica g(t), aplica a fórmula da tabela e multiplica o resultado por a. Para uma constante, por exemplo, L{a} = integral de 0 até infinito de ae^-stdt. Integrando e avaliando o limite, obtém-se a/s, desde que s seja maior que zero.

Para a função exponencial a·e^bt, o integrando se torna ae^-(s-b)t. A integral converge se s-b for positivo; portanto, s > b. O resultado é a/(s-b). Já para funções trigonométricas, as integrais padrão levam aos denominadores s²+b², com numerador ab no seno e as no cosseno.

Tabela de propriedades úteis

Após obter transformadas básicas, é possível resolver expressões maiores por propriedades. A linearidade permite separar somas; por isso, a transformada de 3t² - 4sen(2t) pode ser calculada termo a termo. Convém registrar cada condição de convergência antes de combinar os resultados.

Três exemplos resolvidos

Exemplo 1: potência

Considere f(t) = 3t⁴. Escolha Potência, preencha a = 3 e n = 4. Como 4! = 24, a fórmula fornece F(s) = 3·24/s⁵ = 72/s⁵. A condição é s > 0.

Exemplo 2: exponencial

Para f(t) = -2e^5t, escolha Exponencial, informe a = -2 e b = 5. Aplicando L{ae^bt} = a/(s-b), chega-se a F(s) = -2/(s-5). A região de convergência é s > 5, pois o sinal cresce exponencialmente no tempo.

Exemplo 3: seno

Se f(t) = 4sen(3t), selecione Seno, use a = 4 e b = 3. O numerador é a·b = 12 e o denominador é s² + 3². Logo, F(s) = 12/(s²+9), para s > 0.

Base técnica aplicável

As fórmulas usadas decorrem da definição da transformada unilateral e das regras de integração imprópria. Em cursos de cálculo avançado e equações diferenciais, a variável s é frequentemente considerada complexa, s = σ + iω. As condições exibidas nesta página são apresentadas para o caso real e indicam uma região suficiente de convergência para as funções calculadas.

Na prática de engenharia, a transformada de Laplace também é usada para analisar sistemas lineares invariantes no tempo, circuitos, controle automático e respostas transitórias. Nesses contextos, o resultado simbólico deve ser acompanhado de unidades, condições iniciais, hipótese de causalidade e domínio físico do modelo. A calculadora não infere essas informações.

Erros comuns ao calcular transformadas de Laplace

• Confundir a frequência b de sen(bt) com uma frequência em hertz: na fórmula, b costuma ser frequência angular, em radianos por unidade de tempo.
• Inserir expoente não inteiro na opção de potência, que foi limitada a n inteiro não negativo.
• Esquecer o sinal em e^bt: e^-2t tem b = -2 e produz denominador s+2.
• Usar s²-b² no seno ou no cosseno; o denominador correto é s²+b².
• Ignorar a condição de convergência, sobretudo em exponenciais crescentes.
• Aplicar a fórmula de derivada sem informar ou calcular f(0).

Limites do resultado apresentado

O resultado é simbólico e cobre apenas a família escolhida. A ferramenta não simplifica somas de funções, não calcula inversa de Laplace, não executa frações parciais e não resolve automaticamente equações diferenciais. Também não substitui uma verificação manual quando há parâmetros complexos, descontinuidades, distribuições como o delta de Dirac ou condições iniciais.

Em particular, a existência da expressão formal não dispensa a análise da região de convergência. Em aplicações físicas, uma transformação correta pode ainda não representar o sistema se a função de entrada, as unidades ou as hipóteses de causalidade tiverem sido definidas de modo inadequado.