Calculadora de Matriz

O que esta calculadora de matriz resolve

Uma matriz é uma organização retangular de números em linhas e colunas. Ela permite representar, de modo compacto, sistemas de equações lineares, transformações geométricas, dados tabulares e relações entre variáveis. A calculadora de matriz acima trabalha com matrizes quadradas de ordem 2 e 3, isto é, com duas ou três linhas e o mesmo número de colunas.

A ferramenta realiza as operações mais procuradas em álgebra linear: adição, subtração, multiplicação, cálculo do determinante e obtenção da inversa. Nas três primeiras operações, o resultado é outra matriz. No determinante, o resultado é um número. Na inversa, quando ela existe, o resultado é uma matriz que desfaz a transformação da matriz original.

O cálculo é feito diretamente no navegador a partir dos elementos digitados. Isso é útil para conferir exercícios, resolver etapas de sistemas lineares e revisar contas manuais. Ainda assim, é importante entender a condição de cada operação: nem toda combinação de matrizes pode ser somada, multiplicada ou invertida apenas por terem números em suas células.

Como usar a calculadora, campo a campo

Ordem das matrizes

No campo Ordem das matrizes, selecione 2 × 2 ou 3 × 3. A ordem 2 gera quatro campos para cada matriz; a ordem 3, nove. Nesta versão, as matrizes são sempre quadradas e A e B têm a mesma dimensão, o que viabiliza todas as operações oferecidas quando aplicáveis.

Operação

Em Operação, escolha soma, subtração, produto, determinante ou inversa. Para determinante e inversa, somente a matriz A é necessária e o painel da matriz B fica oculto. Para as demais opções, digite todos os valores de A e B.

Elementos da matriz A e da matriz B

Preencha cada posição na ordem em que aparece na grade: da esquerda para a direita em cada linha, e de cima para baixo. Por exemplo, a primeira linha de uma matriz 2 × 2 contém os elementos a11 e a12; a segunda, a21 e a22. São aceitos inteiros, negativos e decimais, com vírgula ou ponto decimal.

Botões de cálculo

Selecione Calcular para processar a operação. Se existir um campo vazio ou um texto que não corresponda a número, a calculadora informará o problema sem produzir um resultado incompleto. O botão Limpar apaga os valores, preserva as opções escolhidas e permite iniciar outro cálculo.

Fórmulas e passo a passo do cálculo matricial

Considere duas matrizes da mesma ordem, A = [a_ij] e B = [b_ij]. Na soma, cada posição do resultado C recebe a soma dos elementos que ocupam a mesma posição: c_ij = a_ij + b_ij. Na subtração, a regra é equivalente, trocando a soma pela diferença: c_ij = a_ij − b_ij.

O produto matricial não é uma multiplicação elemento a elemento. Para encontrar cada posição c_ij de C = A × B, multiplicam-se os elementos da linha i de A pelos elementos correspondentes da coluna j de B e somam-se os produtos. Em uma matriz 2 × 2, o elemento superior esquerdo é c11 = a11 × b11 + a12 × b21. Por esse motivo, em geral, A × B é diferente de B × A.

Para A = [[a, b], [c, d]], o determinante é det(A) = ad − bc. Para uma matriz 3 × 3, com primeira linha a, b, c, segunda linha d, e, f, e terceira linha g, h, i, a expansão usada é det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg). A calculadora aplica essas expressões conforme a ordem selecionada.

A inversa de uma matriz A é indicada por A⁻¹ e atende à relação A × A⁻¹ = I, em que I é a matriz identidade. Ela só existe se o determinante for diferente de zero. Para uma matriz 2 × 2, A⁻¹ = (1/det(A)) × [[d, −b], [−c, a]]. Para ordem 3, a ferramenta calcula a matriz de cofatores, transpõe essa matriz e divide cada elemento pelo determinante.

Tabela de regras das operações

Tabela de determinantes frequentes

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: soma de matrizes 2 × 2

Se A = [[2, 5], [−1, 3]] e B = [[4, −2], [6, 1]], a soma é feita posição por posição. Na primeira linha, 2 + 4 = 6 e 5 + (−2) = 3. Na segunda, −1 + 6 = 5 e 3 + 1 = 4. Portanto, A + B = [[6, 3], [5, 4]].

Exemplo 2: produto de matrizes 2 × 2

Considere A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[5, 6], [7, 8]]. O primeiro elemento é 1 × 5 + 2 × 7 = 19. O segundo é 1 × 6 + 2 × 8 = 22. Na segunda linha, obtêm-se 3 × 5 + 4 × 7 = 43 e 3 × 6 + 4 × 8 = 50. Logo, A × B = [[19, 22], [43, 50]].

Exemplo 3: determinante e inversa

Para A = [[4, 7], [2, 6]], o determinante é 4 × 6 − 7 × 2 = 10. Como 10 não é zero, a inversa existe. Aplicando a fórmula, A⁻¹ = 1/10 × [[6, −7], [−2, 4]], ou seja, [[0,6, −0,7], [−0,2, 0,4]]. A vírgula indica decimal no padrão brasileiro.

Base técnica e matemática aplicável

As operações desta página seguem as definições usuais de álgebra linear para matrizes com elementos reais. A adição é definida entre matrizes de mesma dimensão. A multiplicação é definida pela combinação de linhas da primeira matriz com colunas da segunda. Já o determinante é uma propriedade de matrizes quadradas e tem importância central para identificar transformações não invertíveis e sistemas lineares sem solução única.

A regra da inversa decorre da matriz adjunta e da identidade A × adj(A) = det(A) × I. Quando det(A) é igual a zero, a matriz é chamada singular; nesse caso, não existe uma matriz inversa usual. Em aplicações práticas, arredondamentos podem fazer um determinante muito próximo de zero parecer nulo ou não nulo conforme a precisão empregada. A calculadora exibe os valores com casas decimais adequadas, mas preserva o cálculo numérico interno.

Erros comuns ao calcular matrizes

• Somar números que não ocupam a mesma posição nas duas matrizes.
• Multiplicar A por B elemento a elemento, em vez de combinar linhas de A com colunas de B.
• Supor que A × B e B × A sempre produzem o mesmo resultado.
• Tentar encontrar a inversa de uma matriz cujo determinante é zero.
• Confundir o sinal negativo na fórmula do determinante 2 × 2.
• Digitar uma vírgula como separador de milhares, e não como decimal, em valores numéricos.
• Arredondar valores intermediários cedo demais e alterar o resultado final.

Limites do resultado

Esta calculadora é voltada a matrizes quadradas 2 × 2 e 3 × 3 com números reais. Ela não processa matrizes retangulares, números complexos, parâmetros literais como x e y, autovalores, autovetores, escalonamento, posto ou sistemas lineares completos. Embora o produto entre matrizes retangulares tenha aplicações importantes, ele exige uma interface de dimensões independentes e não faz parte desta ferramenta.

Os resultados decimais podem apresentar pequenas diferenças de arredondamento próprias da aritmética computacional. Para demonstrações formais, provas matemáticas, cálculos científicos de alta precisão ou decisões acadêmicas e profissionais, confira os elementos de entrada, mantenha frações quando necessário e valide o procedimento com o método solicitado no contexto do problema.