Calculadora de Derivada Parcial

O que esta calculadora de derivada parcial resolve

A calculadora de derivada parcial estima a taxa de variação de uma função que depende de duas variáveis. Ao selecionar a derivação em relação a x, ela mantém y fixo e mede como o valor de f(x,y) se altera nas proximidades do ponto indicado. Ao selecionar a derivação em relação a y, ocorre o contrário: x permanece constante.

O resultado é útil em cálculo multivariável, otimização, física, engenharia, economia matemática e modelagem. Uma derivada parcial não é, em regra, a variação total da função: ela descreve apenas um sentido de mudança por vez. Por exemplo, se uma função representa uma grandeza que depende de temperatura e pressão, a derivada em relação à temperatura informa a mudança prevista quando a pressão é mantida constante.

A ferramenta trabalha com uma aproximação numérica por diferença central. Isso permite calcular expressões digitadas diretamente no navegador, inclusive quando a regra algébrica é longa. Para polinômios e funções suaves, o valor normalmente coincide, até a precisão exibida, com a derivada obtida manualmente. Em pontos de descontinuidade, em raízes problemáticas ou em locais nos quais a derivada não existe, porém, a aproximação pode falhar ou não ter interpretação matemática adequada.

Como usar a calculadora campo a campo

Função f(x, y)

Informe a expressão usando as variáveis x e y. A multiplicação deve ser escrita com asterisco: use 2*x*y, e não 2xy. Para potências, use o acento circunflexo, como em x^3 ou (x+y)^2. Parênteses ajudam a definir claramente a ordem das operações.

Valor de x e valor de y

Preencha as coordenadas do ponto em que a derivada deve ser avaliada. Na expressão x^2*y, se o ponto for x = 2 e y = 3, a calculadora avaliará as funções necessárias ao redor de (2, 3). Os campos aceitam números negativos e decimais; na entrada, use ponto como separador decimal quando necessário.

Escolha da variável

Clique em “Derivar em relação a x” para obter ∂f/∂x ou em “Derivar em relação a y” para obter ∂f/∂y. A seleção muda somente a coordenada perturbada no cálculo. A outra coordenada permanece fixa no valor informado.

Fórmula usada no cálculo

A definição formal da derivada parcial em relação a x, no ponto (a,b), é:

∂f/∂x(a,b) = lim h→0 [f(a+h,b) − f(a,b)] / h.

Para a variável y, a definição correspondente é:

∂f/∂y(a,b) = lim h→0 [f(a,b+h) − f(a,b)] / h.

Como um navegador trabalha com números finitos e não calcula um limite simbólico geral, a ferramenta emprega a diferença central, que costuma produzir uma aproximação mais equilibrada:

∂f/∂x(a,b) ≈ [f(a+h,b) − f(a−h,b)] / (2h).

De modo análogo, para y:

∂f/∂y(a,b) ≈ [f(a,b+h) − f(a,b−h)] / (2h).

O valor de h é muito pequeno. Primeiro, a calculadora avalia a função em dois pontos vizinhos; depois, subtrai os resultados e divide a diferença por duas vezes o incremento. O detalhe exibido ao final permite conferir essas duas avaliações numéricas.

Passo a passo de uma derivada parcial

Considere f(x,y) = x²y + 3xy² no ponto (2,1), em relação a x. Em um cálculo simbólico, y é uma constante. A derivada de x²y é 2xy; a derivada de 3xy² é 3y². Logo, ∂f/∂x = 2xy + 3y². Substituindo x = 2 e y = 1, obtém-se 2 × 2 × 1 + 3 × 1² = 7.

No cálculo numérico da ferramenta, a mesma conclusão é alcançada pela comparação entre f(2+h,1) e f(2−h,1). Quanto menor for o deslocamento, mais a razão de variação local tende ao valor da derivada, desde que a função seja diferenciável no ponto.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: polinômio em duas variáveis

Se f(x,y) = x²y + 3xy², no ponto (2,1), a derivada parcial em relação a x é 2xy + 3y². Portanto, o resultado é 2 × 2 × 1 + 3 × 1 = 7. Para a derivada em relação a y, a regra é x² + 6xy; no mesmo ponto, o valor é 4 + 12 = 16.

Exemplo 2: função trigonométrica

Considere f(x,y) = sen(xy), no ponto (0,5; 2). Em relação a x, a derivada é y cos(xy). Como xy = 1, o resultado é 2 cos(1), aproximadamente 1,080605. O argumento das funções trigonométricas é interpretado em radianos, convenção usual do cálculo diferencial.

Exemplo 3: exponencial

Para f(x,y) = exp(x+y), no ponto (1,2), tanto ∂f/∂x quanto ∂f/∂y são iguais a exp(x+y). Como 1 + 2 = 3, cada derivada parcial vale exp(3), aproximadamente 20,085537. Esse caso mostra que derivadas em sentidos diferentes podem coincidir, mas isso não é obrigatório.

Notação, regras e base técnica

A notação ∂, lida como “derivada parcial”, é usada porque a função depende de mais de uma variável independente. Ela diferencia esse conceito da derivada ordinária, usualmente escrita com d/dx, aplicável diretamente a uma função de uma variável. Ao derivar parcialmente em relação a uma variável, todas as demais são tratadas como constantes naquele passo.

As regras de soma, produto, quociente e cadeia continuam válidas, com atenção à variável escolhida. Assim, em x²y, ao derivar por x, y é constante e o resultado é 2xy. Ao derivar por y, x² é constante e o resultado é x². Em composições, como sen(xy), a regra da cadeia exige multiplicar pela derivada do argumento xy na direção selecionada.

A diferença central utilizada pela calculadora é um método clássico de diferenciação numérica. Para funções suficientemente suaves, seu erro de truncamento é da ordem de h². Na prática computacional, h não pode ser reduzido indefinidamente porque arredondamentos de ponto flutuante passam a interferir. Por isso, a ferramenta fornece uma estimativa útil, e não uma demonstração simbólica da derivada.

Erros comuns ao calcular derivadas parciais

• Esquecer de manter a outra variável constante: ao calcular ∂f/∂x, não derive y.
• Omitir o sinal de multiplicação: escreva x*y, e não xy.
• Confundir potência com multiplicação: x^2 significa x ao quadrado, enquanto 2*x é duas vezes x.
• Usar graus em funções trigonométricas: senos, cossenos e tangentes são calculados em radianos.
• Testar valores fora do domínio: sqrt(x) não é real para x negativo, e log(x) exige x positivo.
• Interpretar uma aproximação como igualdade exata: os últimos algarismos podem variar por limitações numéricas.

Limites do resultado apresentado

A calculadora avalia expressões reais de duas variáveis e usa aproximação numérica local. Ela não substitui um sistema de álgebra computacional para simplificação simbólica, derivadas de ordem superior, funções definidas por partes complexas ou análise formal de existência da derivada. Se a função tiver cúspide, salto, divisão por zero ou domínio restrito no ponto analisado, o número exibido pode não representar uma derivada válida.

Também é importante distinguir derivadas parciais de gradiente e derivada direcional. Para uma função f(x,y), o gradiente reúne as duas derivadas parciais, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Já a derivada direcional depende de uma direção escolhida. Esta página calcula uma componente parcial por vez, exatamente conforme a variável selecionada.